Recursos: Matemáticas con papel y tijeras

¿Quién dijo que para hacer matemáticas es necesario realizar sofisticados cálculos en un papel?

Tan sólo es necesario un papel, unas tijeras y ganas de divertirse un rato.



Actividad

1. Intenta descubir un método para obtener 1, 2, 3 y 4 rombos en vez de cuadrados.

(Una pista: inténtalo primero tú solo, y después sigue buscando vídeos relacionados con el anterior.)

Recursos: Ahora con papel, pero sin tijeras

Para los que practican la papiroflexia, usar tijeras no es algo permitido. El no poder cortar desde luego complica las cosas enormemente. Y a pesar de ello es posible conseguir figuras de gran complejidad.

Pero empecemos por definir qué es la papiroflexia: se trata de obtener figuras simplemente doblando un trozo de papel, sin usar tijeras ni ningún medio de pegado. Este arte está muy desarrollado en Japón, en el que se le conoce con el nombre de Origami.

Y desde luego que hay mucha matemática en este arte, porque al fin y al cabo cada figura está compuesta por multitud de pequeñas figuras geométricas.

En la siguiente web encontrarás mucha información sobre la papiroflexia. Por cierto que se trata de una web de matemáticas.

¿Qué ahora mismo no dispones de papel? No importa, lo que es seguro, si estás viendo esto, es que dispones de un ordenador. Con esto nos bastará para hacer un poco de papiroflexia.

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Actividad

1. ¿Por dónde doblarías para obtener un triángulo isósceles?
2. ¿Y un triángulo rectángulo?
3. ¿Cómo conseguirías un trapecio?
   

Recursos: Origami

Como ya sabes, la papiroflexia es el nombre en castellano para el arte japonés del origami.

Recuerda: para realizar una figura correctamente sólo podrás hacer dobleces en un papel de cualquier tamaño. No está permitido pegar ni cortar el papel de ningún modo. La siguiente presentación te aclarará las ideas:

ORIGAMI

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A pesar de estas limitaciones es posible obtener multitud de figuras, incluyendo figuras geométricas. Estas figuras no tienen que ser bidimensionales, y es posible obtener por ejemplo poliedros.

Actividad

1. ¿Qué es un poliedro?
2. Trae a clase una figura hecha con las técnicas descritas en la página web sobre papiroflexia que te indicamos antes, o bien una técnica obtenida de cualquier otra fuente.
   

Recursos: Fractales

De forma muy simple, podemos definir un fractal como un objeto matemático que posee una estructura que se repite a diferentes escalas. Puedes encontrar información mucho más detallada en la wikipedia.

La combinación de geometría fractal con las posibilidades de representación de un ordenador permite generar imágenes de gran belleza. Muchas de ellas puedes encontrarlas en la siguiente página.

Como muestra aquí tienes dos, ambas de Flickr:

Fuente: Licht~~~~

Fuente: Manas Dichow

Actividad

Con la ayuda de la información que encuentres en la red, y en especial en la wikipedia, responde a las siguientes cuestiones:

1. ¿Cuáles son las principales características que definen a un fractal?
2. Indica al menos los nombres de dos fractales famosos.
3. ¿Qué es una familia de fractales?
4. ¿Qué dimensión tiene un punto? ¿Y una recta? ¿Un plano?
5. ¿Qué dimensión puede tener un fractal?
6. ¿Qué aplicaciones tienen los fractales?
   

Recursos: Fractales con papel y tijeras

Vaya, parece que para crear un fractal es necesario disponer de un potente ordenador y saber bastante de matemáticas y programación.

Nada más lejos de la realidad, tan sólo necesitas papel y tijeras...



Aquí tienes otro ejemplo:



Actividad

1. Pues está claro, toma papel y tijeras y crea tu propio triángulo de Sierpinsky. ¿Qué tal si le das un poco de color?
2. ¿Y quién era Sierpinsky? ¿Dónde nació?
3. ¿Te animas a construir el conjunto de Cantor con otros materiales? Puedes usar palillos de dientes, trocitos de papel, piezas de lego, lo que tu imaginación invente.
4. Y ya que estamos, ¿quién es Cantor? Busca información sobre este matemático.
   

Recursos: Fractales en la naturaleza

Las estructuras fractales se encuentran más cercanas de lo que puedes imaginarte. Su uso en la naturaleza no es casual, puesto que son estructuras que permiten realizar determinadas funciones con una gran economía de esfuerzo, o en las que su "diseño" se simplifica por tratarse de la repetición de un mismo esquema a varios niveles.



Actividad

Tras el visionado del vídeo responde a las siguientes cuestiones:

1. La organización de las moléculas de un organismo, ¿qué fin persigue?
2. Como se llama el híbrido entre brócoli y colifror que muestra el vídeo.
3. ¿Somos los seres humanos fractales? ¿Sí, no, en qué sentido?
   

Recursos: De las matemáticas al arte

Las ideas que permiten construir un fractal (recurrencia, autosimilitud, ...), como es lógico, no son propiedad exclusiva de las matemáticas. El mundo del arte ha explorado esas mismas ideas desde sus inicios.

Por ejemplo, ¿cómo es posible recubir el plano usando una misma figura que se repite?

La siguiente escena no es una imagen. Puedes tirar de los puntos D, E y F, y observarás como el plano se recubre con la figura que has creado. Esta figura que al repetirse cubre el plano se denomina una tesela.

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Actividad

1. Crea teselaciones diferentes del plano con la ayuda de la escena.
2. Cuando hayas conseguido una teselación que te parezca especialmente interesante, haz una captura de pantalla y guárdala.

Recursos: La pajarita nazarí

Una de las teselas que permiten recubrir un plano es la pajarita nazarí.


La idea es partir de una figura que sabemos recubre al plano, para a partir de ella construir otra, en la que lo "que se quita por un lado" se "añade por otro".

En el siguiente applet puedes ver el proceso de construcción de la pajarita nazarí. Para ello pulsa en el botón animate. Para reiniciar el applet pulsa en inicio.

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Con la ayuda de estas y otras teselas, los artistas hispano musulmanes de La Alhambra crearon combinaciones de espectacular belleza.




Actividad

1. ¿Por qué los artistas nazaríes hacían un uso tan prolífico de figuras geométricas en sus obras?
2. Busca una imagen del hueso nazarí.
3. En el arte nazarí había una figura que hoy se conoce como el avión. Busca un ejemplo.
4. También otra figura se conoce con el nombre de pétalo. Encuentra una imagen del pétalo nazarí.
   

Recursos: El arte de escher

Uno de los artistas que sin duda mejor ha comprendido la Alhambra es Maurits Cornelis Escher. La idea de recurrencia y el uso de teselaciones es una de las constantes de su obra.

Observa la siguiente presentación de Slideshare, en la que encontrarás varias de las obras de Escher.

La geometria Imposible

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Actividad

1. ¿En qué diapositivas has encontrado teselaciones?
2. ¿Qué es real y qué es dibujo en la diapositivas 4 y 9?
   
3. Observa la diapositiva número 12. ¿Cómo la definirías?
   

Recursos: El efecto Droste

La idea de realidad que se introduce dentro de su representación, o imágenes que se repiten de manera recurrente está presente en algunas obras de Escher y en fotografías que reproducen el conocido como Efecto Droste.

Veamos algunos ejemplos, que pertenecen a colecciones de fotografías de Flickr.


Otro ejemplo, que posee el efecto Droste, pero también naturaleza fractal:


Y un último ejemplo, también Droste y Fractal:


Actividad

1. ¿Hay matemáticas detrás del efecto Droste? Busca información en la red y debate con tus compañeros sobre esta cuestión. Para ello puedes usar los comentarios a esta entrada en el foro.
2. Puedes ilustrar tus comentarios indicando nuevos ejemplos de efecto Droste que encuentres en la red.